三视图教学呈现“三多”,具体讲教学上难点多、学习上困惑多、应用上困难多。这部分教学内容教材的编排上采用了初中铺垫,高中较全面介绍模式,与集合、统计等方式相同。它学习起来较后者要麻烦。学习它需要较高的空间思维包括空间观察、想象、分析等能力。学生学习这部分内容,在掌握上出现碎片化、经验式的特点,即作、用三视图往往凭经验、感觉来完成,没有系统性理解与掌握。为了克服这些缺陷,简单地谈谈教学中容易忽视与特别强化的几个方面。
一.三视图教学中容易忽视的几个问题
1.忽视与初中教材的衔接。许多三视图的课案设计与课件都缺少复习环节,这包括对初中所介绍的三视图内容的复习。初中数学9年级下册第29章第1节就介绍三视图。比较初、高中有关内容,两者都重点介绍了三视图的作法与九字法则。初中内容对投影概念的介绍较为详细,高中内容对组合体的三视图画作较为侧重。初、高中对3个视图的称呼不一样。初中为主视图、左视图、俯视图,高中为正视图、侧视图、俯视图。
2.忽视教材前部分内容的整理作用。高中三视图教材内容前部分实际对投影的复习。有老师认为这部分内容没必要重视,轻描谈写地‘提一下’即可。这部分内容不能够重点对待,重在整理与归纳。归纳:投影的三要素:投影线、投影面、投影物。‚正投影的特征:(1)平行投影,(2)不改变物体的形状与大小,(3)投影线(光线)垂直投影面。在正投影下,点与它在投影面上投影的连线垂直投影面。
3.忽视了3个视图的作与画之间差异。3个视图作在各自的投影面内,3个投影面是两两垂直的平面。画3个视图应在同一个平面内。所以,观察与画‘侧视图’时将它的投影面向后旋转900,与正视图投影面共面;观察与画‘俯视图’时将它的投影面向下旋转900,与正视图投影面共面。理解了这一差异,学生对九字法则掌握就牢固。
4.忽视作视图时“为何要画虚线”的道理。教材中提到‘几何体中看不见的线段在视图中化成虚线’,其道理却没有讲。几何体中每一条棱在视图中都有影子(投影),当棱被光线挡住时,投影非常暗甚至可以忽略,在作视图时影子画成虚线。明确了道理,学生学习上没有了对‘为何要画虚线’困惑。
二.三视图教学中需要强化的几个问题
1.强化三视图作的法则。初、高中教材在介绍几何体三视图作的过程时都用一个长方体在3个投影面的投影来实施的。学生在学习这一过程通过观察来理解,认识上很肤浅。教学中有必要对这一过程包含的方法进行提炼与归纳。教材介绍几何体三视图方法简单地说:点、线投影法。将几何体所有的顶点或棱的端点及所有的棱在投影面的投影作出来,按相关顺序连成平面图形即为相应的视图。其步骤:(1)确定投影线方向与投影面,(2)作几何体点与棱的投影,(3)作、画视图。确定投影面时要应用线面与面面垂直有关知识,理论上凡是与投影线垂直的平面均可为投影面。下图为正五棱柱的三视图的作画法,应用了点、线作画法。通过这个实例,很好理解点、线作画法的过程与要求。
2.强化对“九字法则”的理解与应用。九字法则是三视图知识点的‘灵魂性’的内容,重要性不言而喻。如何强化对它的理解与应用?
(1)‘高平齐’指正视图与侧视图2个平面图形(与形状无关)上下之间的距离,也是几何体的上下之间的距离,一般情况等于几何体的高;‘宽相等’指侧视图与俯视图2个平面图形(与形状无关)左右之间的距离。
(2)三视图的问题表示为:‘作画’与‘识用’2个方面。用‘九字法则’检验所‘作画’的三视图的精准性。‚识用几何体三视图,应用‘九字法则’从3个视图中提取长、高、宽三个数据,解决有关对几何体的讨论,这是三视图学习主要的目的。
例1:已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积的取值范围是____________.
【思路】正视图是长方形,高为1,俯视图位置是变化的,其长的范围满足[1,],
由‘长对正’得,正视图的长的范围满足[1,],所以,正视图的面积的取值范围是[1,]。
例2.某几何体的左视图与俯视图都是矩形,主视图是平行四边形,则该几何体的表面积为__________.
【思路】几何体由长方体切割而成的平行六面体,上下面为边长为3的正方形,前后面为左视图平行四边形,左右面为长为3,宽为2的矩形。表面积为30+6.